Otro imposible: ¿cómo sobrevivía el coyote? por Daniela Vergara

No sé si ustedes, pero yo, cuando pequeña, me preguntaba cómo sobrevivía el coyote sin comer, pues como todos sabemos, nunca atrapaba al correcaminos (Figura 1); eran fallidos todos los intentos del coyote de coger al correcaminos con trampas de dinamita, caucheras, hoyos en el suelo y un sinnúmero de ingeniosos mecanismos mortales (todos ellos producidos por la compañía Acme ®) de los cuales el correcaminos siempre escapaba ileso. Tal vez el coyote era generalista, es decir predaba también en otras presas, aunque lo recuerdo flaco, desgarbado y con un pelambre opaco. O tal vez la población de correcaminos era bastante grande y el coyote tenía mas alimento aunque siguiera empeñado en agarrar a este correcaminos en particular.

Figura 1. El coyote persiguiendo al correcaminos y el correcaminos burlándose de él. Caricaturas creadas por Warner Bros. Foto tomada de http://topwallpapersdownload.blogspot.com/2011/10/disney-roadrunner-show.html

Figura 1. El coyote persiguiendo al correcaminos y el correcaminos burlándose de él. Caricaturas creadas por Warner Bros. Foto tomada de Top Wallpapers Download 

La interacción entre el coyote y el correcaminos, se explica por las ecuaciones formuladas por Alfred J. Lotka (Lotka 1920) y Vito Volterra (Volterra 1926), quienes de manera independiente describieron con un modelo matemático la dinámica del sistema depredador-presa. Nicholas Gotelli, en su libro A primer of Ecology (Gotelli 2001) explica bastante bien estas ecuaciones y la matemática que las sustenta. La depredación es una interacción ecológica directa y conspicua entre dos especies, la del depredador y la de la presa, en la cual los individuos de la primera especie se alimenta de los de la segunda y como resultado de ella, el crecimiento de las poblaciones, esto es, el número de individuos que conforman una de las especies, depende, tanto de la población de esa especie como de la población de la otra. Denotemos la población de las presas con el símbolo M de correcaMinos y la de depredadores con Y de coYote. Matemáticamente, el crecimiento de M en el tiempo es una función dependiente tanto de M como de Y:

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Si la población de coyotes fuese la única fuerza limitante del crecimiento de la población de correcaminos, en caso de ausencia del único depredador (Y=0) (condición válida en nuestro sistema dado que, como sabemos, el coyote siempre fracasa en sus intentos de atrapar al correcaminos) la población de correcaminos, como la de cualquier especie que crece sin nada que la controle, incrementaría exponencialmente y la ecuación (1) se reduce a:

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donde la constante r es la tasa de crecimiento intrínseco de la población de presas.

En la realidad, el crecimiento de la población de correcaminos está limitado por las pérdidas ocurridas cuando los depredadores están presentes (que no es el caso de nuestro coyote), en este caso la relación (2) tiene la expresión general:

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El segundo término del miembro derecho de esta relación es negativo,   indicando que la pérdida causada por depredación reducen la razón de aumento de la población de presas y es proporcionales al producto (multiplicación) de las poblaciones de depredadores y de presas. Si, además, los depredadores y las presas se mueven al azar en su ambiente, su tasa de encuentros es proporcional al número de individuos que conforman la población, a la abundancia de cada especie.

Las ecuaciones de Lotka-Volterra no son aplicables al caso de coyote y del correcaminos, porque en este sistema se viola el postulado de aleatoriedad dado que tanto el coyote, como el correcaminos, es el único de su especie (en nuestra ecuación M = Y =1), y con estas poblaciones tan pequeñas, los encuentros no son aleatorios, sino más bien, producto del esfuerzo del único coyote buscando activamente al único correcaminos.

Las ecuaciones de Lotka-Volterra también tienen en cuenta que hay depredadores que impactan la población de presas en mayor medida que otros, unos son más eficientes que otros (el coyote realmente no cabe en esta definición); por ejemplo, una sola ballena puede comer muchísimos pequeños crustáceos mientras que una araña no puede capturar muchos insectos. Por lo tanto, la ballena es mucho mas eficiente que la araña, y la adición de un solo individuo a la población, tiene un impacto mucho mayor en la población de ballenas que en la de arañas. Este efecto de eficiencia es dado en la ecuación 3 con el parámetro α, que entre más grande sea, mayor es el efecto sobre la tasa de crecimiento de la población de presas causado al añadir un solo predador. Por lo tanto una ballena tendrá un α muy grande mientras la araña tendrá un α pequeño.

Como dije anteriormente, tanto la población de depredadores como de presas afecta la una a la otra. En la ecuación (1) vemos cómo cambia el número de presas (M) en el tiempo. El cambio de depredadores (Y) en el tiempo está descrito por una ecuación de la misma forma:

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siendo g un término como f en la ecuación (1), que describe una función. Si el predador es un especialista extremo como al parecer lo es nuestro coyote y solo tiene una fuente de presa, en ausencia de correcaminos (M=0) la población de coyotes disminuiría exponencialmente, según la siguiente ecuación:

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Aquí q es la tasa de muerte per cápita en la población de coyotes. Un crecimiento positivo se da cuando hay presencia de correcaminos caso descrito por la ecuación:

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En esta última expresión el producto MY indica que los encuentros entre depredadores y presas son aleatorios y crecen en proporción directa a ambas poblaciones. El parámetro β mide la habilidad de los depredadores para convertir cada nueva presa en crecimiento per cápita de su población.(β es probablemente cero en el caso de nuestro querido coyote ya que es completamente ineficiente…..)

Tal vez, el resultado más importante del modelo de Lotka-Volterra, es que ambas poblaciones, tanto la de depredadores como la de presas pueden mantener en equilibrio la una a la otra y que por lo tanto, existe un número específico de depredadores y un número específico de presas que mantienen dos poblaciones en equilibrio estable, ambas con crecimiento es igual a cero; mantener una población constante, con crecimiento igual a cero, quiere decir que el número de nacimientos es igual al de muertes y que como la población es constante, su derivada temporal es nula y así el número específico de depredadores que mantiene constante la población de presas se consigue igualando (3) a cero y es dado por la siguiente expresión:

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expresión según la cual, el cociente entre la tasa de crecimiento de las presas (r) y la eficiencia de captura por parte del depredador (α) determina este valor de equilibrio. Análogamente el número específico de presas necesarias para mantener estacionaria la población de depredadores se obtiene igualando (6) a cero y es dada por la siguiente relación:

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Según (7) y (8) se concluye que a mayor:

  1. tasa de crecimiento de presas, mayor es el número de depredadores necesarios para mantener la población de presas en equilibrio (Figura 2A).
  1. eficiencia de los depredadores (α, ecuación 7) menor es el número de depredadores necesarios para mantener la población de presas en equilibrio (Figura 2B).
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Figura 2. Correlaciones entre el número de depredadores (eje Y) y en el eje X, la tasa de crecimiento de las presas (A) o la eficiencia de depredadores (B).

  1.  número de muertes a causa del depredador, mayor es el número de presas necesitadas para mantener la población de depredadores (Figura 3).
  1. mortalidad de depredadores (q, ecuación 8), mayor es el número de presas que se necesitan para evitar que la población de depredadores continúe disminuyendo (Figura 3).
Figura 3. Correlaciones entre el numero de presas (eje Y) y el número de muertes o muerte de depredadores (eje X).

Figura 3. Correlaciones entre el numero de presas (eje Y) y el número de muertes o muerte de depredadores (eje X).

Como vemos nuestro querido coyote no es uno de los miembros de la población de depredadores que mantiene en equilibrio la población de presas, y si fuese el único en su población, la población de correcaminos crecería de manera exponencial. El coyote es ineficiente, así que se necesitan muchos otros coyotes para mantener la población de correcaminos en equilibrio y limitar el crecimiento exponencial de la población de correcaminos. Por otro lado, si todos los correcaminos son tan difíciles de capturar como el de las caricaturas, se necesita que abunden para que aumente el número de encuentros y así darle al coyote alguna probabilidad de éxito en sus cacerías como forma de evitar que la población de coyotes se extinga..

Según Lotka-Volterra, ambas poblaciones, tanto la del depredador como la de la presa, tienen ciclos periódicos, incrementando y disminuyendo suavemente de un mínimo a un máximo (Figura 4). Estos ciclos son estables y sus amplitudesdeterminadas por las condiciones iniciales, si hay muchos depredadores, o muchas presas. Los ciclos se producen porque a través del tiempo, la acción de los depredadores disminuye el número de presas, como el recurso se torna escaso, se frena el crecimiento de la población de depredadores disminución que a su vez permite a la población de presas incrementar en número.

Figura 4. Ciclos de depredador-presa en el modelo de Lotka-Volterra. Cada población tiene un ciclo con una amplitud determinada por el tamaño inicial de las poblaciones. Figura modificada de http://www.nature.com/scitable/knowledge/library/dynamics-of-predation-13229468

Figura 4. Ciclos de depredador-presa en el modelo de Lotka-Volterra. Cada población tiene un ciclo con una amplitud determinada por el tamaño inicial de las poblaciones. Figura modificada de Dynamics of Predation

Espero que este escrito les sirva para aceptar que en la vida real, los depredadores sí atrapan a sus presas, incluso tal parece que coyote si coge al correcaminos en un episodio. Algunos dicen que no hay reportes de coyotes predando en correcaminos y también que un coyote puede correr mucho mas rápido que un correcaminos. De hecho yo le perdí el pesar que le tenía al coyote gracias a Lotka-Volterra. Quiero terminar aconsejándoles nunca comprar nada de la compañía Acme ®.

 

Paginas recomendadas:

http://www.nature.com/scitable/knowledge/library/dynamics-of-predation-13229468

 

Referencias:

Gotelli, N. J. 2001. A primer of ecology. Third edition.

Lotka, A. J. 1920. Analytical note on certain rhythmic relations in organic systems. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 6:410-415.

Volterra, V. 1926. Variations and fluctuations in the number of individuals among animals living together. Mem R Accad Naz Lincei Cl Fis Mat E Nat 2:31-112.

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